Manojlovic, NenadZucconi, FrancescoDaniele, Corradetti2025-01-142025-01-142024http://hdl.handle.net/10400.1/26624In this dissertation, we delve into algebraic and geometrical applications of 8-dimensional composition algebras, examining their relationships with exceptional Jordan algebras, exceptional Lie groups, and classical geometric constructs such as the Cayley projective plane. Our main focus is on the Okubo algebra, which is a non-associative composition and division algebras that lacks a unit element. After a brief review on composition algebras, we introduce octonionic projective planes using a generalised version of Veronese conditions in order to show a straightforward way to relate them to Albert algebras and real forms of exceptional Lie groups of type F4 and E6. We then use a modified version of such conditions that allows to define an affine and projective plane over the Okubo algebra. We also find that a similar construction also holds for the para-octonionic algebra which is again an 8-dimensional composition algebra that lacks of unit element, but is para-unital. In the ensuing sections, we present isomorphisms linking the Okubo projective plane with both the para-octonionic and octonionic projective planes. The result is surprising, given that para-octonions and the Okubo algebra neither exhibit alternativity nor conform to the Moufang identities. Historically, the compact 16-dimensional Moufang plane, also known as the Cayley plane, arose out of octonionic geometry. However, in this work we show that this plane can be defined in an equally clean, straightforward and more minimal way by means of two different division composition algebras. Notably, these algebras possess a reduced algebraic structure compared to the octonions and do not uphold the Moufang identities, which are traditionally linked to the Moufang attributes of the plane.Nesta dissertação, focamos em aplicações algébricas e geométricas de álgebras de composição 8-dimensionais, examinando as suas relações com álgebras de Jordan excecionais, grupos de Lie excecionais e construtos geométricos clássicos como o plano projetivo de Cayley. O nosso interesse principal é a álgebra de Okubo, que é uma álgebra de composição e divisão não associativa que não possui um unidade. Após uma breve revisão sobre as álgebras de composição, introduzimos os planos octoniónicos usando uma versão generalizada das condições de Veronese, a fim de mostrar uma maneira simples de relacioná-los com as álgebras de Albert e formas reais de grupos de Lie excecionais do tipo F4 e E6. Usamos então uma versão modificada de tais condições, que permite definir um plano afim e projetivo sobre a álgebra de Okubo. Descobrimos também que uma construção semelhante é válida para a álgebra para-octoniónica, que é novamente uma álgebra de composição 8-dimensional que não possui elemento unidade, mas uma para-unidade. Subsequentemente, apresentamos os isomorfismos que interligam o plano projetivo de Okubo tanto com o plano projetivo para-octoniónico como octoniónico. O resultado é surpreendente, dado que os para-octoniões e a álgebra de Okubo não exibem alternatividade nem obedecem as identidades de Moufang. Historicamente, a definição do plano de Moufang compacto 16-dimensional, também conhecido como o plano de Cayley, surgiu da geometria octoniónica. No entanto, neste trabalho mostramos que este plano pode ser definido de uma forma igualmente clara, simples e mais minimalista através de duas álgebras de composição divisão diferentes. Notavelmente, estas álgebras possuem uma estrutura algébrica reduzida em comparação com os octónios e não mantêm as identidades de Moufang, que estão tradicionalmente ligadas aos atributos de Moufang do plano.engHurwitz algebrasOkubo AlgebraMoufang planeReal forms of Lie algebrasProjective planesdoctoral thesis101744790